趣味數(shù)學(xué)故事：希爾伯特的23個(gè)問(wèn)題(2)

　　該問(wèn)題已由日本數(shù)學(xué)家高木貞治（1921）和德國(guó)數(shù)學(xué)家E.阿廷（1927）解決。

　　10、丟番圖方程的可解性

　　能求出一個(gè)整系數(shù)方程的整數(shù)根，稱為丟番圖方程可解。希爾伯特問(wèn)，能否用一種由有限步構(gòu)成的一般算法判斷一個(gè)丟番圖方程的可解性？1970年，蘇聯(lián)的IO.B.馬季亞謝維奇證明了希爾伯特所期望的算法不存在。

　　11、系數(shù)為任意代數(shù)數(shù)的二次型

　　H.哈塞（1929）和C.L.西格爾（1936，1951）在這個(gè)問(wèn)題上獲得重要結(jié)果。

　　12、將阿貝爾域上的克羅克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去

　　這一問(wèn)題只有一些零星的結(jié)果，離徹底解決還相差很遠(yuǎn)。

　　13、不可能用只有兩個(gè)變數(shù)的函數(shù)解一般的七次方程

　　七次方程的根依賴于3個(gè)參數(shù)a、b、c，即x=x （a，b，c）。這個(gè)函數(shù)能否用二元函數(shù)表示出來(lái)？蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿諾爾德解決了連續(xù)函數(shù)的情形（1957），維士斯金又把它推廣到了連續(xù)可微函數(shù)的情形（1964）。但如果要求是解析函數(shù)，則問(wèn)題尚未解決。

　　14、證明某類完備函數(shù)系的有限性

　　這和代數(shù)不變量問(wèn)題有關(guān)。1958年，日本數(shù)學(xué)家永田雅宜給出了反例。

　　15、舒伯特計(jì)數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ)

　　一個(gè)典型問(wèn)題是：在三維空間中有四條直線，問(wèn)有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個(gè)直觀解法。希爾伯特要求將問(wèn)題一般化，并給以嚴(yán)格基礎(chǔ)�，F(xiàn)在已有了一些可計(jì)算的方法，它和代數(shù)幾何學(xué)不密切聯(lián)系。但嚴(yán)格的基礎(chǔ)迄今仍未確立。

　　16、代數(shù)曲線和代數(shù)曲線面的拓?fù)鋯?wèn)題

　　這個(gè)問(wèn)題分為兩部分。前半部分涉及代數(shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目。后半部分要求討論的極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)和相對(duì)位置，其中X、Y是x、y的n次多項(xiàng)式。蘇聯(lián)的彼得羅夫斯基曾宣稱證明了n=2時(shí)極限環(huán)的個(gè)數(shù)不超過(guò)3，但這一結(jié)論是錯(cuò)誤的，已由中國(guó)數(shù)學(xué)家舉出反例（1979）。

　　17、半正定形式的平方和表示

　　一個(gè)實(shí)系數(shù)n元多項(xiàng)式對(duì)一切數(shù)組（x1,x2,...,xn）

　　都恒大于或等于0，是否都能寫成平方和的形式？1927年阿廷證明這是對(duì)的。

　　18、用全等多面體構(gòu)造空間

　　由德國(guó)數(shù)學(xué)家比勃馬赫（1910）、莢因哈特（1928）作出部分解決。

　　19、正則變分問(wèn)題的解是否一定解析

　　對(duì)這一問(wèn)題的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得羅夫斯基等得出了一些結(jié)果。

　　20、一般邊值問(wèn)題

　　這一問(wèn)題進(jìn)展十分迅速，已成為一個(gè)很大的數(shù)學(xué)分支。目前還在繼續(xù)研究。

　　21、具有給定單值群的線性微分方程解的存在性證明

　　已由希爾伯特本人（1905）和H.羅爾（1957）的工作解決。

　　22、由自守函數(shù)構(gòu)成的解析函數(shù)的單值化

　　它涉及艱辛的黎曼曲面論，1907年P(guān).克伯獲重要突破，其他方面尚未解決。

　　23、變分法的進(jìn)一步發(fā)展出

　　這并不是一個(gè)明確的數(shù)學(xué)問(wèn)題，只是談了對(duì)變分法的一般看法。20世紀(jì)以來(lái)變分法有了很大的發(fā)展。

　　這23問(wèn)題涉及現(xiàn)代數(shù)學(xué)大部分重要領(lǐng)域，推動(dòng)了20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展。

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