趣味數(shù)學(xué)故事：希爾伯特的23個(gè)問(wèn)題

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　　希爾伯特（Hilbert D,1862.1.23~1943.2.14）是二十世紀(jì)上半葉德國(guó)乃至全世界最偉大的數(shù)學(xué)家之一。他在橫跨兩個(gè)世紀(jì)的六十年的研究生涯中，幾乎走遍了現(xiàn)代數(shù)學(xué)所有前沿陣地，從而把他的思想深深地滲透進(jìn)了整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)。希爾伯特是哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派的核心，他以其勤奮的工作和真誠(chéng)的個(gè)人品質(zhì)吸引了來(lái)自世界各地的年青學(xué)者，使哥廷根的傳統(tǒng)在世界產(chǎn)生影響。希爾伯特去世時(shí)，德國(guó)《自然》雜志發(fā)表過(guò)這樣的觀點(diǎn)：現(xiàn)在世界上難得有一位數(shù)學(xué)家的工作不是以某種途徑導(dǎo)源于希爾伯特的工作。他像是數(shù)學(xué)世界的亞歷山大，在整個(gè)數(shù)學(xué)版圖上，留下了他那顯赫的名字。

　　1900年，希爾伯特在巴黎數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了23個(gè)最重要的問(wèn)題供二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們?nèi)パ芯浚�這就是著名的"希爾伯特23個(gè)問(wèn)題"。

　　1975年，在美國(guó)伊利諾斯大學(xué)召開(kāi)的一次國(guó)際數(shù)學(xué)會(huì)議上，數(shù)學(xué)家們回顧了四分之三個(gè)世紀(jì)以來(lái)希爾伯特23個(gè)問(wèn)題的研究進(jìn)展情況。當(dāng)時(shí)統(tǒng)計(jì)，約有一半問(wèn)題已經(jīng)解決了，其余一半的大多數(shù)也都有重大進(jìn)展。

　　1976年，在美國(guó)數(shù)學(xué)家評(píng)選的自1940年以來(lái)美國(guó)數(shù)學(xué)的十大成就中，有三項(xiàng)就是希爾伯特第1、第5、第10問(wèn)題的解決。由此可見(jiàn)，能解決希爾伯特問(wèn)題，是當(dāng)代數(shù)學(xué)家的無(wú)上光榮。

　　下面摘錄的是1987年出版的《數(shù)學(xué)家小辭典》以及其它一些文獻(xiàn)中收集的希爾伯特23個(gè)問(wèn)題及其解決情況：

　　1、連續(xù)統(tǒng)假設(shè)

　　1874年，康托猜測(cè)在可列集基數(shù)和實(shí)數(shù)基數(shù)之間沒(méi)有別的基數(shù)，這就是著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。1938年，哥德?tīng)栕C明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和世界公認(rèn)的策梅洛--弗倫克爾集合論公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性。1963年，美國(guó)數(shù)學(xué)家科亨證明連續(xù)假設(shè)和策梅洛--倫克爾集合論公理是彼此獨(dú)立的。因此，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能在策梅洛--弗倫克爾公理體系內(nèi)證明其正確性與否。希爾伯特第1問(wèn)題在這個(gè)意義上已獲解決。

　　2、算術(shù)公理的相容性

　　歐幾里得幾何的相容性可歸結(jié)為算術(shù)公理的相容性。希爾伯特曾提出用形式主義計(jì)劃的證明論方法加以證明。1931年，哥德?tīng)柊l(fā)表的不完備性定理否定了這種看法。1936年德國(guó)數(shù)學(xué)家根茨在使用超限歸納法的條件下證明了算術(shù)公理的相容性。

　　1988年出版的《中國(guó)大百科全書(shū)》數(shù)學(xué)卷指出，數(shù)學(xué)相容性問(wèn)題尚未解決。

　　3、兩個(gè)等底等高四面體的體積相等問(wèn)題

　　問(wèn)題的意思是，存在兩個(gè)等邊等高的四面體，它們不可分解為有限個(gè)小四面體，使這兩組四面體彼此全等。M.W.德恩1900年即對(duì)此問(wèn)題給出了肯定解答。

　　4、兩點(diǎn)間以直線為距離最短線問(wèn)題

　　此問(wèn)題提得過(guò)于一般。滿足此性質(zhì)的幾何學(xué)很多，因而需增加某些限制條件。1973年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家波格列洛夫宣布，在對(duì)稱距離情況下，問(wèn)題獲得解決。

　　《中國(guó)大百科全書(shū)》說(shuō)，在希爾伯特之后，在構(gòu)造與探討各種特殊度量幾何方面有許多進(jìn)展，但問(wèn)題并未解決。

　　5、一個(gè)連續(xù)變換群的李氏概念，定義這個(gè)群的函數(shù)不假定是可微的

　　這個(gè)問(wèn)題簡(jiǎn)稱連續(xù)群的解析性，即：是否每一個(gè)局部歐氏群都有一定是李群？中間經(jīng)馮·諾伊曼（1933，對(duì)緊群情形）、邦德里雅金（1939，對(duì)交換群情形）、謝瓦莢（1941，對(duì)可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥馬利、齊賓共同解決，得到了完全肯定的結(jié)果。

　　6、物理學(xué)的公理化

　　希爾伯特建議用數(shù)學(xué)的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力學(xué)。1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲�哥洛夫�(qū)崿F(xiàn)了將概率論公理化。后來(lái)在量子力學(xué)、量子場(chǎng)論方面取得了很大成功。但是物理學(xué)是否能全盤(pán)公理化，很多人表示懷疑。

　　7、某些數(shù)的無(wú)理性與超越性

　　1934年，A.O.蓋爾方德和T.施奈德各自獨(dú)立地解決了問(wèn)題的后半部分，即對(duì)于任意代數(shù)數(shù)α≠0 ，1，和任意代數(shù)無(wú)理數(shù)β證明了αβ的超越性。

　　8、素?cái)?shù)問(wèn)題

　　包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孿生素?cái)?shù)問(wèn)題等。一般情況下的黎曼猜想仍待解決。哥德巴赫猜想的最佳結(jié)果屬于陳景潤(rùn)（1966），但離最解決尚有距離。目前孿生素?cái)?shù)問(wèn)題的最佳結(jié)果也屬于陳景潤(rùn)。

　　9、在任意數(shù)域中證明最一般的互反律

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