趣味數(shù)學(xué)故事：數(shù)字計(jì)算方法手動(dòng)開方

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　　1．將被開方數(shù)的整數(shù)部分從個(gè)位起向左每隔兩位劃為一段，用撇號(hào)分開，分成幾段，表示所求平方根是幾位數(shù)；小數(shù)部分從最高位向后兩位一段隔開，段數(shù)以需要的精度+1為準(zhǔn)。

　　2．根據(jù)左邊第一段里的數(shù)，求得平方根的最高位上的數(shù)。（在右邊例題中，比5小的平方數(shù)是4，所以平方根的最高位為2。）

　　3．從第一段的數(shù)減去最高位上數(shù)的平方，在它們的差的右邊寫上第二段數(shù)組成第一個(gè)余數(shù)。

　　4．把第二步求得的最高位的數(shù)乘以20去試除第一個(gè)余數(shù)，所得的最大整數(shù)作為試商。（右例中的試商即為[152/（2×20）]＝[3.8]＝3。）

　　5．用第二步求得的的最高位數(shù)的20倍加上這個(gè)試商再乘以試商。如果所得的積小于或等于余數(shù)，試商就是平方根的第二位數(shù)；如果所得的積大于余數(shù)，就把試商減小再試，得到的第一個(gè)小于余數(shù)的試商作為平方根的第二個(gè)數(shù)。（即3為平方根的第二位。）

　　6．用同樣的方法，繼續(xù)求平方根的其他各位上的數(shù)。用上一個(gè)余數(shù)減去上法中所求的積（即152－129＝23），與第三段數(shù)組成新的余數(shù)（即 2325）。這時(shí)再求試商，要用前面所得到的平方根的前兩位數(shù)（即23）乘以20去試除新的余數(shù)（2325），所得的最大整數(shù)為新的試商。（2325/（23×20）的整數(shù)部分為5。）

　　7．對新試商的檢驗(yàn)如前法。（右例中最后的余數(shù)為0，剛好開盡，則235為所求的平方根。）

　　如遇開不盡的情況，可根據(jù)所要求的精確度求出它的近似值。在《九章算術(shù)》里就已經(jīng)介紹了上述筆算開平方法。

　　《九章算術(shù)》少廣章：

　　第十二題：今有積五萬五千二百二十五步。問為方幾何？

　　答曰：二百三十五步。

　　開方術(shù)曰：

　　置積為實(shí)。借一算。步之。超一等。議所得。以一乘所借一算為法。而以除。除已。倍法為定法。其復(fù)除。折法而下。復(fù)置借算步之如初。以復(fù)議一乘之。所得副。以加定法。以除。以所得副從定法。復(fù)除折下如前。

　　若開之不盡者為不可開，當(dāng)以面命之。若實(shí)有分者，通分內(nèi)子為定實(shí)。乃開之，訖，開其母報(bào)除。若母不可開者，又以母乘定實(shí)，乃開之，訖，令如母而一。

　　以《九章算術(shù)》中求55225的開方為例，圖解說明。

　　|　5’ 52’ 25 　　　　　 （1）

　　2　　|　5’ 52’ 25 　　　　　 （2）

　　| 4

　　|1’ 52 　　　　　 （3）

　　152/（2×20）＝3＋。.. |　1’ 52’ 　　�。�4）

　　（2×20＋3）×3＝129 | 1’ 52’ 　　 （5）

　　1 29

　　| 23’ 25 　 （6）

　　2325/（23×20）＝5＋。.. | 23’ 25 　 （7）

　�。�23×20＋5）×5＝2325 | 23’ 25 　 （8）

　　| 23’ 25 　 （9）

　　0 （10）

　　于是，235即為所求。

　　手動(dòng)開立方

　　1．將被開立方數(shù)的整數(shù)部分從個(gè)位起向左每三位分為一組；

　　2．根據(jù)最左邊一組，求得立方根的最高位數(shù)；

　　3．用第一組數(shù)減去立方根最高位數(shù)的立方，在其右邊寫上第二組數(shù)；

　　4．用求得的最高位數(shù)的平方的300倍試除上述余數(shù)，得出試商；

　　5．把求得的最高位數(shù)的平方的300倍與試商的積、求得的最高位數(shù)的30倍與試商的平方的積和試商的立方寫在豎式左邊，觀察其和是否大于余數(shù)，若大于，就減小試商再試，若不大于，試商就是立方根的第二位數(shù)；

　　6．用同樣的方法，繼續(xù)求立方根的其他各位上的數(shù)。對新試商的檢驗(yàn)亦如前法。

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