約瑟夫問題與因式分解 趣味數學故事

　　有一個古老的傳說，有64名戰(zhàn)士被敵人俘虜了，敵人命令它們排成一個圈，編上號碼1，2，3，……64。敵人把1號殺了，又把3號殺了，他們是隔一個殺一個這樣轉著圈殺。最后剩下一個人，這個人就是約瑟夫，請問約瑟夫是多少號？

　　這就是數學上有名的“約瑟夫問題”。給大家一個提示，敵人從l號開始，隔一個殺一個，第一圈把奇數號碼的戰(zhàn)士全殺死了。剩下的32名戰(zhàn)士需要重新編號，而敵人在第二圈殺死的是重新編排的奇數號碼。按照這個思路，看看你能不能解決這個問題？

　　答案解析：

　　由于第一圈剩下的全部是偶數號2，4，6，8，……64。把它們全部用2除，得1，2，3，4，……32．這是第二圈重新編的號碼。第二圈殺過之后，又把奇數號碼都殺掉了，還剩下16個人。如此下去，可以想到最后剩下的必然是64號。

　　64＝2×2×2×2×2×2，它可以連續(xù)被2整除6次，是從1到64中質因數里2最多的數，因此，最后必然把64號剩下。從64＝2×2×2×2×2×2還可以看到，是轉過6圈之后，把約瑟夫斯剩下來的。

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