一個特殊數(shù)學(xué)教學(xué)案例的啟示

　　導(dǎo)讀：由此可見，兒童又有多少與成人不同的思維方式，他們又有多少創(chuàng)造性思維方式?jīng)]有被我們所發(fā)掘。這是不是也在說明“在培養(yǎng)兒童的創(chuàng)造力過程中，只要我們不扼殺兒童的創(chuàng)造力，就謝天謝地了”呢？

　　1案例

　　2005年2月25日上午，我正坐在床上看書，我的女兒跑來纏著要做加法。此時，她才5歲零3個月，在上幼兒園學(xué)前班；數(shù)學(xué)口算會10以內(nèi)的整數(shù)加法，勉強會20以內(nèi)的整數(shù)加法，基本不會減法；此前不久，經(jīng)北京東方兒童教育研究所測試顯示，其智力發(fā)展處于中等水平。

　　實在被纏得沒有辦法，我就應(yīng)付地問到“1+1等于幾？”她答“2”。再問“2+2等于幾？”她答“4”。又問“4+4等于幾？”答“8”。最后問“8+8等于幾？”由于數(shù)字過大，她答不上來，我只好告訴她結(jié)果。

　　本來我是想讓她不要再問了，可是她又提出做減法的要求（大概是由于在約1個月前的智力測試時，兩個減法題均未答出的緣故，使她想學(xué)減法）。于是我就開始嘗試著教她減法。

　　第一段，引出減法概念。我問：“5-2等于幾？”她好象不太明白什么是減。我就說：“潘玥最喜歡吃蘋果了，媽媽買來5個蘋果，玥玥一口氣就吃了2個。現(xiàn)在還剩幾個？”她說：“3個。”我說：“對了，5-2就是5個蘋果吃掉2個蘋果。5個蘋果吃掉2個還剩3個蘋果，說明5-2等于幾呢？”她答“3”，同時她用期待的目光望者我，希望得到我的肯定。可能在我給她肯定和表揚后，她才明白原來這就是減法。接著我改變數(shù)字又問了兩個吃蘋果的減法問題，她都能一一回答正確。我給她一番夸獎之后，使教學(xué)進(jìn)入了下一階段。

　　第二段，把問題變成被減數(shù)是10的買蘋果的問題。我問：“由于爸爸的粗心，昨天買來10個蘋果，里面有2個壞的，你說還有幾個是好的呢？”她在心理默默地數(shù)了數(shù)后答到：“8個。”我又問：“第二次是媽媽晚上去買的蘋果。由于看不清楚，買回10個蘋果中就有3個是壞的，那——還有幾個是好的呢？”她思考幾秒鐘后答到：“7個。”我再問：“第三次是奶奶晚上去買的水果，她更是看不清楚，結(jié)果買的10個中就有5個是壞的。你說還有幾個是好的？”她答：“5個”�？磥硭龑�減法的涵義已經(jīng)掌握，于是我又是一番夸贊之后，使教學(xué)轉(zhuǎn)入了第三段。

　　第三段，脫離實物的純數(shù)字的減法運算。我以遞減的方式依次問5-3等于幾、5-2等于幾、5-1等于幾、5-0等于幾。前三問她都能借助于吃蘋果進(jìn)行思考（我聽到她在思考第一問時小聲地說了聲“吃蘋果”），并一一說出正確答案。見她答不出第四問，我就解釋到：“減零表示吃掉零個，吃掉零個表示一個都不吃。”然后問：“5個蘋果一個都沒有被吃掉，還剩幾個？”她答：“5個。”我重新問：“5-0等于幾？”她答：“5。”接著我又問6-0等于幾、10-0等于幾、100-0等于幾，她都能回答正確。為了引入差為零的減法，我就以遞增的方式依次問5-3等于幾、5-4等于幾、5-5等于幾。前兩問她能迅速地說出答案，對第三問她遲疑了一下之后，也小聲地說出了是零（她在這之前已經(jīng)有零的概念）。我給予肯定之后，又依次問6-6等于幾、10-10等于幾、100-100等于幾、103-103等于幾、1萬減1萬等于幾、0-0等于幾。她都能迅速回答（回答這些問題之前，好象沒有怎么思考，可能采用的是類推的思維方式）。我在給她一番表揚后，又提出了下面的問題。

　　第四段，差為負(fù)整數(shù)的減法。我依次問2-1等于幾、2-2等于幾、2-3等于幾。第三問她回答不了，我就啟發(fā)到：“有2個蘋果，玥玥想要吃3個，還差幾個？”她說：“差1個。”我說：“對了，差1個就是-1，差2個就是-2。”她接著插嘴說“差3個就是-3。”我說：“對。所以2-3=-1。再來，2-4等于幾？現(xiàn)在有2個蘋果，玥玥要想吃4個，還差幾個？”“差2個。”“那么2-4等于幾？”答：“等于負(fù)2。”我又問“1-4等于幾”，她回答“等于負(fù)3”。此時我感到十分驚喜，差為負(fù)整數(shù)的減法她也會了。這在成年人看來好象有點不可思議，一個剛學(xué)減法的學(xué)齡前兒童居然這么容易就學(xué)會了初中一年級學(xué)生才學(xué)習(xí)的內(nèi)容。我重重地夸贊一番之后，又依次問1-1、1-2、1-3、2-5等于幾，她都能一一回答正確�？磥硭�真正學(xué)會了差為負(fù)整數(shù)的減法，于是我就試著將教學(xué)轉(zhuǎn)入下面的內(nèi)容。

　　第五段，被減數(shù)是負(fù)整數(shù)的減法。我問“0-1等于幾”后，見她有點遲疑，就啟發(fā)到：“你想啊，本來沒有蘋果，想吃1個，差幾個呢？”答：“差1個。”我說：“所以0-1等于-1。”接著我又依次問0-2、0-3、0-4、0-100等于多少，這下她都能一一回答正確（可能她又是用的類推的方法，從而得出經(jīng)驗并記住了這一經(jīng)驗：零減去幾就等于負(fù)幾，并且感悟到0下面是-1，-1下面是-2，以后依次是-3，-4，…）。為了鞏固這一成果，我又依次問5+0、0+5、5-0、0-5等于幾，她都能回答正確。這說明被減數(shù)為零的減法她已經(jīng)掌握。然后我又用遞減法依次問2-1、1-1、0-1、-1-1等于幾。前三問她能很快說出答案；第四問我給她解釋到：“-1表示已經(jīng)差一個蘋果了，再減一就是還要差一個，這樣就差幾個了？”答：“差兩個。”“所以-1再減1就等于-2。那么-1再減2呢？”她答“等于-3。”我給予肯定之后，又依次問-1-3、-2-2、-2-4等于幾，這些她都回答正確了。這真使我喜出望外。居然被減數(shù)為負(fù)數(shù)的一位整數(shù)的減法她也學(xué)會了！

　　第六段，加法與減法同時進(jìn)行。為了鞏固前面的學(xué)習(xí)成果，我提出了以下幾組問題。第一組是對偶問題“2+3、3+2、3-2、2-3分別等于幾”；第二組也是對偶問題“10+0、0+10、10-0、0-10分別等于幾”；第三組是頂針問題“5-2、3-2、1-2、-1-2分別等于幾”。她對這三組問題都能一一回答正確，這說明被減數(shù)為零或者負(fù)數(shù)的一位整數(shù)的減法她已經(jīng)掌握了。接下來我就開始擴(kuò)大戰(zhàn)果。

　　第七段，多位整數(shù)的加減法。第一組是頂針對稱問題，分別問10+10，20+20，40+40，80+80等于多少。在提示10+10等于20后，她就能類推出“20+20=40，40+40=80，80+80等于16十”，但其中的“16十”應(yīng)糾正為“1百6十”。第二組為任意整十、整百或整千的加法，分別問10+30，50+20，1百+4百，4千+3千等于多少。她都能通過類推說出答案，或者將十、百、千作為整體單位進(jìn)行計算（如四千加三千就相當(dāng)于四個蘋果加三個蘋果）。第三組為整十?dāng)?shù)與一位整數(shù)的加法，分別問10+3，10+9，20+8，50+2，3+10，5+30，7+90等于多少。前4問她都能通過類推說出答案，第5問有點困難，但提示糾正后，接下來的兩問都能回答正確。第四組為整十與整百相加，分別問100+10，100+20，100+50，200+30，400+70，2000+300，20+400，40+700。得到第一問的提示后，她對前6問都能類推出結(jié)果，但是后2問類推的結(jié)果“24百和47百”應(yīng)糾正為“420和740”。第五組為整十與整十或整百與整百相減，分別問50-30，30-40，600-400，100-300，-100-200等于多少。她也能由以上經(jīng)驗類推出正確答案。

　　這太好了，在一般的成年人看來，一個智力中等、僅5歲零3個月大小的兒童，從開始學(xué)習(xí)減法到能正確說出“-100-200”的答案竟只需要約半小時時間。真是有點不可思議。

　　第八段，用所學(xué)減法知識解決實際問題。首先，我問：“爸爸給玥玥5元錢買牛奶，玥玥買一盒牛奶用了2元。賣牛奶的阿姨該找回幾元呢？”由于所給信息較多，數(shù)量關(guān)系又具有隱含性和復(fù)雜性，她思考時不停地問給了幾元錢、買了幾盒牛奶、牛奶多少錢。通過不斷提供數(shù)據(jù)信息，并逐步啟發(fā)，她還是用減法得出了正確答案。接著，我進(jìn)一步問：“爸爸給玥玥5元錢去買牛奶，玥玥買一盒牛奶用了2元，賣牛奶的阿姨補給你2元。阿姨是多給還是少給了？”當(dāng)她答“少給了”后，我又問少給了多少，這時她也能用減法算出少了1元。最后，我把問題變得更為復(fù)雜：“爸爸給玥玥10元錢，玥玥在超市里買一盒牛奶用去2元，買一斤蘋果用去3元。問阿姨該補給你幾元？”當(dāng)她回答后，我進(jìn)一步依次問：“要是阿姨給了你6元，她給對了嗎？是多給了還是少給了？多給了多少？”對于5歲多一點的兒童來說，盡管要回答這一連串問題顯得有點困難，但是通過這樣的訓(xùn)練，卻能使之在潛意識里體會到加法與減法的真正涵義，從而提高其運用知識解決實際問題的潛意識和潛能力。這才是數(shù)學(xué)教育的真諦。

　　2啟示

　　事后，筆者感到以上案例具有一定的研究價值，于是對它進(jìn)行了詳細(xì)的整理與反思�，F(xiàn)將反思所得幾點啟示羅列如下，希望它能引起數(shù)學(xué)教育同仁的共同研討，并從中挖掘出更有價值的東西。

　�。�1）現(xiàn)有中小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排體系值得質(zhì)疑。現(xiàn)有教材的編排體系是否合理，即教材中的數(shù)學(xué)知識應(yīng)以什么次序編排、以什么形式組合、以什么方式呈現(xiàn)，我們對這些問題的認(rèn)識或許還帶有相當(dāng)程度的盲目性。本案例中，筆者并不是按照小學(xué)數(shù)學(xué)教材的知識體系進(jìn)行加減法教學(xué)，而是以十以內(nèi)甚至五以內(nèi)的整數(shù)加減法為知識的固著點和生長點，牽帶出包括“整十整百的加減法”、“被減數(shù)是負(fù)整數(shù)的減法”和“被減數(shù)是負(fù)整百的減法”等知識在內(nèi)的一連串知識的。恐怕這是世界上任何一個國家的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中都沒有的現(xiàn)象。既然這些知識可以如此整合，那么教材中還有沒有其他知識應(yīng)該并且可以重新整合呢？若有，又有那些需要整合，又該怎樣整合呢？這些都是需要和值得我們深入研究和探討的。

　　（2）引導(dǎo)方法得當(dāng)可使較難知識變得容易。像本案例中“-100-200=？”這一問題，在一般人看來，應(yīng)該是學(xué)完小學(xué)數(shù)學(xué)知識的初中一年級學(xué)生才能學(xué)習(xí)的，然而，由于引導(dǎo)方法得當(dāng)，一位普通的學(xué)齡前兒童在約半小時內(nèi)，也是可以學(xué)會解決的。在此教學(xué)過程中，一方面，筆者采用了吃蘋果、買蘋果、買牛奶等這些兒童最貼近的實例作為教育情景進(jìn)行減法教學(xué)。這有利于激發(fā)兒童的興趣，有利于刺激兒童積極思維。另一方面，筆者在提問時，常采用頂針、對偶、對稱和排比等手法，使問題一個扣一個地步步攀升，也使兒童感到學(xué)起來饒有興趣。第三，本案例采用小步推進(jìn)、小數(shù)字計算的教學(xué)策略，使兒童即使在計算“-100-200=？”這一看似高難度的問題時，也不感到困難。因此，方法得當(dāng)能使困難問題變得簡單；方法失當(dāng)則會使簡單問題變得困難。

　　（3）人們普遍認(rèn)為“授之以魚不如授之以漁”，但筆者認(rèn)為“授之以漁又不如授之以欲”。本案例最成功之處并不在于使兒童學(xué)會了被減數(shù)為負(fù)數(shù)的整數(shù)減法這一對兒童而言看似高深的知識，也不在于教學(xué)方法運用有多么的巧妙，而是在于引導(dǎo)者不斷地激起了兒童的學(xué)習(xí)欲望和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂感。教學(xué)中，每當(dāng)兒童獲得小小成功時，引導(dǎo)者都會予以表揚和夸贊。整個過程中，引導(dǎo)者都在不停地說“很好、不錯、真棒、真聰明，……”。當(dāng)聽到“好能干羅，減法都會了”的夸獎后，她就產(chǎn)生了還要做減法的欲望；當(dāng)聽到“真聰明，連初中的題都會做了”的表揚時，她就要求還要做大學(xué)的題；當(dāng)她將更難的“大學(xué)”的題做出來，并聽到表揚“哎呀，真是不得了，大學(xué)的題也會了”時，她又提出要求做更難的題。就這樣，一旦將兒童的學(xué)習(xí)熱情調(diào)動起來后，你想要她不學(xué)都還困難，更不用說還要強迫她學(xué)習(xí)了。本案例中，兒童的學(xué)習(xí)熱情甚至達(dá)到這樣的程度：我在實在扭不過她的情況下，就強行哄她走開。哄她不走，又只好出幾個題難住她。這時她才慢慢降低繼續(xù)學(xué)習(xí)的熱情，才很不情愿地走開。但后來，每當(dāng)她走到我身邊玩耍時，都會主動提出要求說“爸爸，又來1+1，又來做減法嘛”。也許在她看來，能做出筆者出的減法題，就是一種成功、滿足和快樂。要是我們的數(shù)學(xué)教育都是這樣，使學(xué)生以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)為滿足和快樂，那該有多好啊。

　�。�4）在數(shù)學(xué)教育中，可能對年齡越小的兒童越是要“重實質(zhì)輕形式”。本案例中，筆者沒有搞一點形式化的東西。兒童連一個符號都沒有看到，也沒有寫出，卻也能很快學(xué)會初中學(xué)生才學(xué)習(xí)的知識；一點形式都沒有，也能達(dá)到數(shù)學(xué)教育的目的，甚至比形式化的教學(xué)效果更好，效率更高。一方面，只要抓住了減法的實質(zhì)，不一定要寫出數(shù)字，列出算式進(jìn)行筆算�？谒阏諛涌梢赃_(dá)到使兒童深刻理解減法涵義和運用減法解決實際問題的目的，甚至有時口算比筆算更有利于數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練。另一方面，由于在引導(dǎo)兒童的過程中，筆者緊緊抓住減法的實質(zhì)，進(jìn)行小跨度和小數(shù)字的問題設(shè)置，使兒童學(xué)起來十分輕松，其知識也在潤物細(xì)無聲中生長起來了。

　�。�5）筆者發(fā)現(xiàn)，兒童的許多思維方式并不是我們成年人或者教育者想象的那樣；兒童的大腦里潛藏著大量的創(chuàng)造性思維方式。比如，兒童學(xué)習(xí)加減法時，很多時候似乎并沒有按我們成年人那樣去推理或計算，并且也不需要給她講多少道理，她就可以憑經(jīng)驗進(jìn)行類推。雖然這樣的類推有時是錯誤的，但在其知識十分有限的條件下，這可能是她的思維策略中最佳或者唯一的選擇。當(dāng)類推的結(jié)果得到肯定時，她就記住這一經(jīng)驗，并會在以后繼續(xù)這樣類推；否則，她就建立新的正確的經(jīng)驗，然后在新經(jīng)驗基礎(chǔ)上又進(jìn)行類推。如本案例中，當(dāng)兒童依次回答“10+3=13，20+5=25，70+7=77”后，再問她“3+20=？”時，她就會憑前面回答的經(jīng)驗類推出“3+20等于三二十”的答案。這一錯誤經(jīng)驗就需要引導(dǎo)者給予糾正，即告訴她不能說成三二十，要把十說在前面，說成二十三。以后她就能在新的正確經(jīng)驗基礎(chǔ)上類推出“5+80=85”了。同樣，兒童也是由“-1-2=-3”類推出“-100-200=-300”，進(jìn)而類推出“-200-300=-500”等等的。又比如，在一次加法游戲中，當(dāng)我念出“a,o---a,o---a,o,a,o”要她回答一共有幾個“a”或“o”時，她很快就答出是8個。我以為她是按照“2+2+4=8”得到答案的，但如果是這樣計算的話，就不可能那么快說出答案。我問她為何這么快就能說出答案，她說是數(shù)出來的。原來她是按照我念的節(jié)奏，在心中這樣默默數(shù)出答案的：“1，2---3，4---5，6，7，8”。這當(dāng)然比我的加法速度還要快。我真沒想到還可以這樣“計算”。

　　由此可見，兒童又有多少與成人不同的思維方式，他們又有多少創(chuàng)造性思維方式?jīng)]有被我們所發(fā)掘。這是不是也在說明“在培養(yǎng)兒童的創(chuàng)造力過程中，只要我們不扼殺兒童的創(chuàng)造力，就謝天謝地了”呢？

　�。�6）事事洞明皆學(xué)問，人情練達(dá)即文章。一方面，更多更實在的教育研究、教育發(fā)現(xiàn)就在我們身邊，就在我們每一次的教育教學(xué)行動中。我們要善于洞察、發(fā)現(xiàn)和捕捉兒童微妙的表情變化和思維火花的閃現(xiàn)。因此，行動研究是了解、研究和窺探兒童心理和發(fā)現(xiàn)兒童認(rèn)知規(guī)律的十分有效的途徑。另一方面，對在實踐中所捕捉和發(fā)現(xiàn)到的、原始的、零散而有價值的東西，要及時反思、篩選、梳理和提煉，使之上升為理論，整理成文章。本案例中，筆者通過“1+1”模式的一次行動研究就獲得了以上幾點收獲，這是閱讀任何一本書都無法取代的。

　　由是觀之，我們在做數(shù)學(xué)教育研究時，應(yīng)該更多地深入實踐，更多地深入數(shù)學(xué)教育教學(xué)的“田間地頭”�；蛟S那里才是豐富的教育研究寶藏的埋藏地。

　　重慶郵電學(xué)院應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 潘建輝

　　相關(guān)推薦：

小升初試題、期中期末題、小學(xué)奧數(shù)題

盡在奧數(shù)網(wǎng)公眾號

　　 歡迎使用手機、平板等移動設(shè)備訪問幼教網(wǎng)，幼兒教育我們一路陪伴同行！>>點擊查看